1)

\(I=\int\left(cos^2x-cos^2x\cdot sin^3x\right)dx\\ =\int cos^2x\cdot dx-\int cos^2x\cdot sin^3x\cdot dx\\ =\frac{1}{2}\int\left(cos2x+1\right)dx+\int cos^2x\left(1-cos^2x\right)d\left(cosx\right)\\ =\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{2}+\frac{cos^3x}{3}-\frac{cos^5x}{5}+C\)

....

2) Xét riêng mẫu số:

\(sin2x+2\left(1+sinx+cosx\right)\\ =\left(sin2x+1\right)+2\left(sinx+cosx\right)+1\\ =\left(sinx+cosx\right)^2+2\left(sinx+cosx\right)+1\\ =\left(sinx+cosx+1\right)^2\\ =\left[\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right]^2\)

Khi đó:

\(I_2=\int\frac{sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{\left[\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right]^2}dx\\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{d\left[\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right]}{\left[\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right]^2}\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1}+C=\frac{1}{2cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1}\)

...

\(f\left(-x\right)=\left|-sinx-cosx\right|-\left|-sinx+cosx\right|\)

\(=\left|sinx+cosx\right|-\left|sinx-cosx\right|=-f\left(x\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)+f\left(-x\right)=0\)

\(\Rightarrow T=f\left(-\pi\right)+f\left(\pi\right)+f\left(-\frac{\pi}{2}\right)+f\left(\frac{\pi}{2}\right)+...+f\left(-\frac{\pi}{n}\right)+f\left(\frac{\pi}{n}\right)+f\left(0\right)\)

\(=0+0+...+0+f\left(0\right)=f\left(0\right)\)

\(=1-1=0\)

đặt :

\(F\left(x\right)=\int_0^{x^2}f\left(t\right)dt=xsin\left(\pi x\right)\Leftrightarrow F\left(x^2\right)-F\left(0\right)=xsin\)

\(\left(\pi x\right)\Leftrightarrow F\left(x^2\right)=F\left(0\right)+xsin\left(\pi x\right)\)

lấy đạo hàm \(2\) vế , ta có :

\(\left(F\left(0\right)\right)'=sin\left(\pi x\right)+\pi xcos\left(\pi x\right)+\left(F\left(0\right)\right)'\)

\(\Leftrightarrow2xf\left(x^2\right)=sin\left(\pi x\right)+\pi xcos\left(\pi x\right)\)

thay \(x=2\) , ta có :

\(2.2.f\left(4\right)=sin\left(2\pi\right)+2\pi cos\left(2\pi\right)\Leftrightarrow4f\left(4\right)=2\pi\Leftrightarrow f\left(4\right)=\dfrac{\pi}{2}\)

Câu 6:

Hoành độ giao điểm: \(\sqrt{1-x^2}=0\Leftrightarrow x=\pm1\)

\(\Rightarrow V=\pi\int\limits^1_{-1}\left(1-x^2\right)dx=\frac{4}{3}\pi\)

// Hoặc là tư duy theo 1 cách khác, biến đổi pt ban đầu ta có:

\(y=\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow y^2=1-x^2\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)

Đây là pt đường tròn tâm O bán kính \(R=1\Rightarrow\) khi quay quanh Ox ta sẽ được một mặt cầu bán kính \(R=1\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\)

Câu 7: Về bản chất, đây là 1 con tích phân sai, không thể tính được, do trên miền \(\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right]\) hàm dưới dấu tích phân không xác định tại \(x=\frac{\pi}{3}\) và \(x=\frac{2\pi}{3}\), nhưng nhắm mắt làm ngơ với lỗi ra đề sai đó và ta cứ mặc kệ nó, không quan tâm cứ máy móc áp dụng thì tính như sau:

Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân 1 chút trước:

\(\frac{sin^2x}{sin3x}=\frac{sin^2x}{3sinx-4sin^3x}=\frac{sinx}{3-4sin^2x}=\frac{sinx}{3-4\left(1-cos^2x\right)}=\frac{sinx}{4cos^2x-1}\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{6}}\frac{sinx.dx}{4cos^2x-1}\Rightarrow\) đặt \(cosx=t\Rightarrow sinx.dx=-dt\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^0_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{-dt}{4t^2-1}=\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0\frac{dt}{\left(2t-1\right)\left(2t+1\right)}=\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0\left(\frac{1}{2t-1}-\frac{1}{2t+1}\right)dt\)

\(I=\frac{1}{4}ln\left|\frac{2t-1}{2t+1}\right|^{\frac{\sqrt{3}}{2}}_0=\frac{1}{4}ln\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\right)=\frac{1}{4}ln\left(2-\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+2b+3c=5\)

Câu 8:

\(f\left(x\right)=\int\frac{1}{2x-1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(2x-1\right)}{2x-1}=\frac{1}{2}ln\left|2x-1\right|+C\)

\(f\left(1\right)=1\Leftrightarrow\frac{1}{2}ln1+C=1\Rightarrow C=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}ln\left|2x-1\right|+1\Rightarrow f\left(5\right)=\frac{1}{2}ln9+1=ln3+1\)

Câu 4:

\(I=\int\limits^1_{-1}f\left(x\right)dx=\int\limits^0_{-1}f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)

Do \(f\left(x\right)\) là hàm chẵn \(\Rightarrow f\left(x\right)=f\left(-x\right)\) \(\forall x\)

Đặt \(x=-t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=-1\Rightarrow t=1\\x=0\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\int\limits^0_{-1}f\left(x\right)dx=\int\limits^0_1f\left(t\right).\left(-dt\right)=\int\limits^1_0f\left(t\right)dt=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=2\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=2\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=1\)

Câu 5: Theo tính chất tích phân ta có:

\(\int\limits^{10}_0f\left(x\right)dx=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx+\int\limits^6_2f\left(x\right)dx+\int\limits^{10}_6f\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow\int\limits^2_0f\left(x\right)dx+\int\limits^{10}_6f\left(x\right)dx=\int\limits^{10}_0f\left(x\right)dx-\int\limits^6_2f\left(x\right)dx=7-3=4\)

Cho hàm số y=f(x)y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên [0;π2][0;π2]thoả mãn f(x)=f′(x)−2cosxf(x)=f′(x)−2cosx. Biết f(π2)=1f(π2)=1, tính giá trị f(π3)f(π3)

A. √3+1/2         B. √3−1/2          C. 1−√3/2             D. 0

B

\(f'\left(x\right)-f\left(x\right)=2cosx\)

\(\Leftrightarrow e^{-x}.f'\left(x\right)-e^{-x}.f\left(x\right)=2e^{-x}cosx\)

\(\Rightarrow\left[e^{-x}.f\left(x\right)\right]'=2e^{-x}.cosx\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\Rightarrow e^{-x}.f\left(x\right)=\int2e^{-x}cosxdx=e^{-x}\left(sinx-cosx\right)+C\)

Thay \(x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow e^{-\dfrac{\pi}{2}}.1=e^{-\dfrac{\pi}{2}}+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=sinx-cosx\)

\(\Rightarrow f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)

\(f\left(x\right)=\int sin^4xdx=\int\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x\right)^2dx\)

\(=\frac{1}{4}\int\left(1-2cos2x+cos^22x\right)dx=\frac{1}{4}\int\left(\frac{3}{2}-2cos2x+\frac{1}{2}cos4x\right)dx\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}x-sin2x+\frac{1}{8}sin4x\right)+C\)

\(f\left(0\right)=0\Rightarrow\frac{1}{4}\left(0-0+0\right)+C=0\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0f\left(x\right)dx=\frac{1}{4}\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\frac{3}{2}x-sin2x+\frac{1}{8}sin4x\right)dx\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}x^2+\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{32}cos4x\right)|^{\frac{\pi}{2}}_0\)

\(=\frac{3\pi^2-16}{64}\)

\(I_1=3\int_1^2x^2dx+\int_1^2\cos xdx+\int_1^2\frac{dx}{x}=x^3\)\(|^2 _1\)+\(\sin x\)\(|^2_1\) +\(\ln\left|x\right|\)\(|^2_1\)

    \(=\left(8-1\right)+\left(\sin2-\sin1\right)+\left(\ln2-\ln1\right)\)

     \(=7+\sin2-\sin1+\ln2\)

b) \(I_2=4\int_1^2\frac{dx}{x}-5\int_1^2x^4dx+2\int_1^2\sqrt{x}dx\)

         \(=4\left(\ln2-\ln1\right)-\left(2^5-1^5\right)+\frac{4}{3}\left(2\sqrt{2}-1\sqrt{1}\right)\)

         \(=4\ln2+\frac{8\sqrt{2}}{3}-32\frac{1}{3}\)

c) Ta cần xét 2 trường hợp 1) 0<a<b và 2) a<b<0

1) Nếu 0<a<b, khi đó \(f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x}=1\) vì \(x>0\) 

Do đó

\(\int_a^bf\left(x\right)dx=\int_a^bdx=b-a\)

2) Nếu a<b<0, khi đó \(f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x}=\frac{-x}{x}=1\) vì \(x<0\)

Do đó :

\(\int_a^bf\left(x\right)dx=\int_a^b\left(-1\right)dx=-\left(b-a\right)=a-b\)

\(f\left(x\right)=cosx\Rightarrow f\left(f\left(\frac{\pi}{2}\right).\pi\right)=cos0=1\)